Menentukan Akar Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0 dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0. Jika a = 0, maka persamaan tersebut merupakan persamaan linear atau garis lurus. Akar-akar persamaan kuadrat merupakan nilai x yang menyebabkan persamaan menjadi sama dengan nol. Dengan kata lain jika nilai x tersebut disubstitusikan ke persamaan kuadrat, maka hasilnya sama dengan nol.

Terdapata tiga metode yang umum digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :

1. Metode Pemfaktoran

   Metode pemfaktoran merupakan metode menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkannya.
   
   

   Persamaan Kuadrat	Pemfaktoran	Keterangan
   ax2 + bx + c = 0	(ax + p)(ax + q) = 0 a	p + q = b p x q = ac

   
   Cara :
   Tentukan dua angka yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b dan jika dikalikan hasilnya sama dengan ac.
   
   Contoh :
   Tentukan akar-akar dari persamaan berikut :
   

   a. x² − x − 6 = 0
   b. x² + 6x + 8 = 0
   c. 2x² − 7x + 6 = 0
   Pembahasan :
   

   1. x² − x − 6 = 0
      Dik : a = 1, b = -1, dan c = -6
      
      Perhatikan nilai c pada persamaan tersebut. Faktor dari 6 yaitu 1-6, dan 2-3. Dari dua pasang angka tersebut, yang mungkin menghasilkan angka -1 adalah 2 dan 3.
      
      Karena c = -6 dan b = -1, maka salah satu angka harus berharga negatif yaitu angka yang terbesar, maka p = 2 dan q = -3. Maka berdasarkan pemfaktoran :
      ⇒ (x + 2)(x − 3) = 0
      ⇒ x = -2 atau x = 3
      
      
   2. x² + 6x + 8 = 0
      Dik a = 1, b = 6, dan c = 8
      
      Faktor dari 8 yaitu 1-8, dan 2-4. Yang mungkin menghasilkan angka 6 adalah 2 dan 4, maka :
      ⇒ (x + 2)(x + 4) = 0
      ⇒ x = -2 atau x = -4
      
      
   3. 2x² − 7x + 6 = 0
      Dik a = 2, b = -7, c = 6, maka ac = 12.
      
      Bilangan yang jika dijumlahkan sama dengan -7 dan jika dikalikan sama dengan 12 adalah -3 dan 4. Logikanya faktor dari 12 antaralain 1-12, 2-6, dan  3-4. Dua angka yang jika dijumlahkan menghasilkan angka 7 hanya 3 dan 4.
      
      Dengan demikian :
      

      ⇒	(ax + p)(ax + q)	=	0
      	2

      ⇒	(2x − 3)(2x − 4)	=	0
      	2

      ⇒ (x − ³⁄₂)(x − 2) = 0
      ⇒ x = ³⁄₂ atau x = 2.
      
      

Melengkapkan Kuadrat

Menentukan akar-akar dengan metode dapat dilakukan dengan cara berikut ini :

Persamaan Kuadrat	Diubah menjadi	Bentuk akhir
ax2 + bx + c = 0	x2 + b⁄a x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c	(x + p)2 = q

Contoh :
Tentukan akar dari persamaan berikut :

1. x² + x − 2 = 0
2. x² − 6x − 7 = 0

Pembahasan :

1. x² + x − 2 = 0
   Dik : a = 1, b = 1, dan c = -2
   
   Ubah persamaan menjadi :
   ⇒ x² + ^b⁄_a x + (^b⁄_2a)² = (^b⁄_2a)² − c
   ⇒ x² + ¹⁄₁ x + (½)² = (½)² − (-2)
   ⇒ x² + x + (½)² = ¼ + 2
   ⇒ (x + ½)² = ⁹⁄₄
   ⇒ x + ½ = ± ³⁄₂
   ⇒ x = ± ³⁄₂ − ½
   
   Maka :
   ⇒ x = ³⁄₂ − ½ = 1 atau x = ^-3⁄₂ − ½ = -2.
   
   
2. x² − 6x − 7 = 0
   Dik : a = 1. b = -6, dan c = -7
   
   Ubah persamaan menjadi :
   ⇒ x² + ^b⁄_a x + (^b⁄_2a)² = (^b⁄_2a)² − c
   ⇒ x² + ^-6⁄₁ x + (^-6⁄₂)² = (^-6⁄₂)² − (-7)
   ⇒ x² − 6x + (-3)² = 9 + 7
   ⇒ (x − 3)² = 16 
   ⇒ x − 3 = ± 4
   ⇒ x = ± 4 + 3
   
   Maka :
   ⇒ x = 4 + 3 = 7 atau x = -4 + 3 = -1.
   
   

Menggunakan Rumus abc

Metode yang terakhir merupakan cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan rumus Al-khawarizmi yang lebih dikenal sebagai rumus abc. Secara matematis rumus abc ditulis :

Persamaan Kuadrat	Rumus abc
ax2 + bx + c = 0	x1,2 = -b ± √b2 − 4.a.c  2a

Contoh :
Tentukan akar dari x² + x − 2 = 0.

Pembahasan :
⇒ x² + x − 2 = 0
Dik a = 1, b = 1, dan c = -2

Dengan rumus abc :

⇒ x1,2 =	-1 ± √12 − 4(1)(-2)
	2(1)

⇒ x1,2 =	-1 ± √1 + 8
	2

⇒ x1,2 =	-1 ± 3
	2

⇒ x₁ = (-1 + 3)/2 = 1
⇒ x₂ = (-1 - 3)/2 = -2
Jadi,x = 1 atau x = -2.

Author : alvin

Share this

Related Posts